在遗嘱字迹鉴定的申请问题上，通常遵循“谁主张，谁举证”的原则。具体来说：

1. 遗嘱继承人：如果遗嘱的效力存在争议，且该争议可能影响到遗嘱继承人的继承权益，那么遗嘱继承人有权申请笔迹鉴定，以维护自身权益。

2. 其他法定继承人：若他们认为遗嘱并非被继承人真实书写，存在伪造、篡改等可能，导致其合法的继承份额受到影响，也可以申请笔迹鉴定。

3. 相关利害关系人：如果遗嘱涉及到对特定财产的处分，而该财产的权益与某些人存在关联，这些利害关系人在有合理怀疑时，同样可以申请笔迹鉴定。

一般来说，谁主张遗嘱存在问题，谁就需要承担申请笔迹鉴定的责任，并可能需要垫付相应的鉴定费用。申请笔迹鉴定的流程通常如下：

1. 由一方当事人在举证期前向法院提起申请；
2. 经过双方当事人质证，确定提供鉴定的样本；
3. 由双方协商选定或摇号选定鉴定机构；
4. 鉴定机构接收鉴定申请后，凭借自身专业技术及依法做出鉴定意见；
5. 双方当事人收到鉴定意见后，对鉴定结论有异议的，还可以申请重新鉴定。

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