定向博士没有和单位签协议是否合法，取决于具体的情况和背景。以下是对此问题的详细分析：
一. 定向博士与单位的关系
定向博士培养通常涉及培养单位、学生和用人单位三方之间的权利义务关系。这种关系往往通过签订定向培养协议来明确，协议中会包含培养目标、培养期限、培养经费、违约责任等内容。
二. 定向博士未签协议的情况分析
如果定向博士培养项目有明确要求：
- 定向博士培养项目如果明确要求必须签订协议，那么未签协议可能构成违规或不符合项目要求。这种情况下，定向博士和单位应当遵循项目规定，签订相关协议。
如果定向博士培养项目没有明确要求：
- 在某些情况下，定向博士培养项目可能并没有明确要求必须签订协议，或者协议签订不是强制性的。在这种情况下，定向博士没有和单位签协议可能并不构成违法或违规。然而，这并不意味着双方的权利和义务可以不受任何约束，双方仍然应当通过其他方式明确各自的权利和义务，以避免未来可能产生的纠纷。
三. 法律后果与建议
- 法律后果：如果定向博士培养项目有明确要求必须签订协议而未签订，可能会影响到定向博士的培养资格、毕业后的工作安排以及违约责任等方面。具体法律后果需要根据相关法律法规和定向培养项目的具体规定来确定。
- 建议：为了避免未来可能产生的纠纷和法律风险，我建议定向博士和单位在定向培养开始前就明确各自的权利和义务，并尽可能签订书面协议。如果项目没有明确要求签订协议，双方也可以通过其他方式（如口头约定、备忘录等）来明确双方的权利和义务，但需要注意这些方式的法律效力和证明难度可能较低。
综上所述，定向博士没有和单位签协议是否合法，需要根据具体情况来判断。在任何情况下，双方都应当尽力明确各自的权利和义务，以避免未来可能产生的纠纷和法律风险。如有进一步需要，您可以继续咨询我。