与美容院签订退款协议要求撤销投诉并放弃向相关部门申诉的权利，这一行为的合法性取决于具体情况。以下是对此问题的详细分析：

1. 协议内容的合法性：

   • 如果退款协议是在双方自愿、平等、公平的基础上签订的，且内容不违反法律法规的强制性规定，那么该协议是合法的。在这种情况下，消费者按照协议要求撤销投诉并放弃向相关部门申诉的权利，是其自主处分权利的行为，合法有效。

2. 协议签订过程中的问题：

   • 如果美容院在签订协议时存在欺诈、胁迫等不正当手段，导致消费者在非自愿的情况下签订了协议，那么该协议是可撤销的。消费者可以在知道或应当知道撤销事由之日起一定期限内行使撤销权，并向相关部门投诉。

3. 消费者的基本权利：

   • 根据《中华人民共和国消费者权益保护法》，消费者享有对商品和服务进行监督的权利，以及因购买、使用商品或接受服务受到损害时依法获得赔偿的权利。这些权利是消费者的基本权利，不因签订退款协议而完全丧失。

4. 投诉与申诉的独立性：

   • 投诉和申诉是消费者维护自身权益的重要途径。即使消费者与美容院签订了退款协议，如果美容院在履行协议过程中存在违约行为，或者消费者认为其权益受到其他方面的损害，消费者仍然有权向相关部门投诉或申诉。

综上所述，与美容院签订退款协议要求撤销投诉并放弃向相关部门申诉的权利，其合法性取决于协议的具体内容和签订过程。如果协议内容合法且签订过程自愿、公平，那么该行为是合法的；但如果存在欺诈、胁迫等不正当手段，或者协议内容违反法律法规的强制性规定，那么消费者有权行使撤销权，并向相关部门投诉或申诉。因此，在签订此类协议时，消费者应谨慎考虑，并确保自身权益得到充分保障。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。