刑事案件检察院寄批捕书后，仍然可以影响并申请取保候审。具体分析如下：

1. 法律依据与可能性：

   • 根据《刑事诉讼法》的相关规定，即使犯罪嫌疑人被检察院批捕，只要符合一定条件，仍然可以申请取保候审。这些条件包括但不限于：可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑；可能判处有期徒刑以上刑罚，但采取取保候审不致发生社会危险性；患有严重疾病、生活不能自理，或者怀孕、正在哺乳自己婴儿的妇女，且采取取保候审不致发生社会危险性；羁押期限届满，案件尚未办结，需要继续采取取保候审等。

2. 申请流程与审查：

   • 犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属或者辩护人有权向司法机关提出取保候审申请。司法机关会根据具体情况进行审查，决定是否批准取保候审。这一过程中，承办人可能会征求检察院的意见。

3. 实际案例与操作：

   • 在实际操作中，即使检察院已经寄出批捕书，但如果犯罪嫌疑人符合取保候审的条件，其辩护人或家属仍然可以积极向司法机关提出申请。例如，如果犯罪嫌疑人患有严重疾病，生活不能自理，或者存在其他特殊情况，使得取保候审不致发生社会危险性，那么就有可能获得司法机关的批准。

4. 建议与注意事项：

   • 在申请取保候审时，应准备充分的证据和材料来支持申请理由。同时，也要了解并遵守相关的法律程序和规定，以确保申请的合法性和有效性。
   • 如果对取保候审的申请流程或相关法律规定不熟悉，建议咨询专业的刑事辩护律师，以获取更具体的法律建议和帮助。

综上所述，刑事案件检察院寄批捕书后，并不影响犯罪嫌疑人及其辩护人或家属申请取保候审的权利。只要符合相关条件，仍然有可能获得司法机关的批准。