国内婚姻介绍所开展涉外婚姻介绍是违法的。根据《国务院办公厅关于加强涉外婚姻介绍管理的通知》（国办发〔1994〕104号）明确规定，严禁成立涉外婚姻介绍机构，国内婚姻介绍机构和其他任何单位都不得从事或变相从事涉外婚姻介绍业务。任何个人也不得采取欺骗手段或以营利为目的从事或变相从事涉外婚姻介绍活动。对已成立的从事或变相从事涉外婚姻介绍的机构，会由民政部门会同公安、工商行政管理部门联合进行清查，一经查出，坚决取缔，并依法追究相关责任。

关于市场监管部门的职责，虽然上述通知中并未直接明确市场监管部门的具体职责，但根据一般的市场监管原则，市场监管部门在涉及涉外婚姻介绍违法行为的查处中，可能会配合民政、公安等部门，对违法从事涉外婚姻介绍的市场主体进行监管和处罚，包括但不限于对违法行为的调查、取证，以及对违法所得的没收和罚款等。

因此，国内婚姻介绍所应严格遵守相关法律法规，不得开展涉外婚姻介绍业务。同时，公众也应提高警惕，避免通过非法渠道寻求涉外婚姻介绍服务，以免上当受骗并承担相应的法律责任。如有任何关于婚姻家庭或遗产继承方面的法律问题，欢迎随时向我咨询。