市场监管部门对从事涉外婚姻介绍业务的市场主体，主要依据相关法律法规，通过以下方式查处：

1. 调查取证：市场监管部门在接到举报或自行发现市场主体涉嫌从事非法涉外婚姻介绍业务时，会首先展开调查。这包括收集相关证据，如业务宣传资料、合同、交易记录、客户反馈等，以确认该市场主体是否确实存在违法行为。

2. 审查资质：市场监管部门会核查该市场主体是否具备从事婚姻介绍业务的合法资质。根据我国相关法律法规，从事婚姻介绍业务需要获得相应的行政许可或备案，而涉外婚姻介绍业务更是受到严格限制，通常不允许私人或非专业机构从事。若市场主体未取得合法资质或超越资质范围从事涉外婚姻介绍业务，将构成违法行为。

3. 查处违法行为：一旦确认市场主体存在非法从事涉外婚姻介绍业务的行为，市场监管部门将依法进行查处。这可能包括责令停止违法行为、没收违法所得、罚款等行政处罚措施。若违法行为情节严重，构成犯罪的，还将依法追究刑事责任。

4. 加强监管与宣传：除了对违法行为进行查处外，市场监管部门还会加强对婚姻介绍市场的日常监管，防止类似违法行为再次发生。同时，通过宣传教育等方式，提高公众对非法涉外婚姻介绍业务的认识和警惕性，引导公众选择合法、正规的婚姻介绍服务。

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