私人劳务派遣公司在遵守相关法律法规的前提下是合法的。以下是关于私人劳务派遣公司合法性的详细解析：
一、法律地位与设立条件
法律地位：根据《中华人民共和国劳动合同法》，劳务派遣单位是用人单位，需依法履行对劳动者的义务，包括与被派遣劳动者订立二年以上的固定期限劳动合同，并明确载明被派遣劳动者的用工单位、派遣期限、工作岗位等情况。
设立条件：私人劳务派遣公司的设立需满足一定条件，包括注册资本不得少于人民币二百万元，有固定的经营场所和设施，符合法律、行政法规规定的劳务派遣管理制度等。
行政许可：必须向劳动行政部门申请行政许可，经许可后依法办理公司登记。未经许可，任何单位和个人不得经营劳务派遣业务。
二、劳务派遣的合法性
合法经营：只要私人劳务派遣公司满足上述设立条件，并获得劳动行政部门的行政许可，其经营劳务派遣业务就是合法的。
适用范围：劳务派遣仅适用于临时性、辅助性或替代性的工作岗位，这是法律对劳务派遣适用范围的明确规定。私人劳务派遣公司在派遣劳动者时，必须遵守这一规定。
三、被派遣劳动者的权益保障
同工同酬：被派遣劳动者享有与用工单位劳动者同工同酬的权利，这是法律对被派遣劳动者权益的重要保障。
合同解除权：被派遣劳动者有权依法与劳务派遣单位解除劳动合同，保障了劳动者的择业自由。
四、法律责任与监管
法律责任：如果私人劳务派遣公司违反相关法律法规，如未经许可擅自经营劳务派遣业务、克扣被派遣劳动者的劳动报酬等，将面临相应的法律责任，包括责令停止违法行为、没收违法所得、罚款等。
监管措施：劳动行政部门对劳务派遣业务进行监管，确保私人劳务派遣公司的经营行为合法合规。同时，社会各界也可以对私人劳务派遣公司的经营行为进行监督，发现违法行为及时向劳动行政部门举报。
综上所述，私人劳务派遣公司在遵守相关法律法规的前提下是合法的。然而，在实际经营过程中，也存在一些不规范甚至违法的劳务派遣公司。因此，劳动者和用工单位在选择私人劳务派遣公司时，应仔细审查其资质和信誉，以保障自身合法权益。如果遇到不合法的劳务派遣行为，可以通过法律途径维护自己的权益。