首先，我要明确的是，打死一只林鸱可能涉及的是危害珍贵、濒危野生动物罪，但具体的刑期需要依据多个因素来确定，包括林鸱的保护级别、行为人的主观故意、行为情节等。因此，无法直接给出一个确定的刑期。

核心结论：打死一只林鸱可能构成犯罪，具体刑期需根据案件具体情况来判断。

分析说明：

1. 林鸱的保护级别：

   • 如果林鸱属于国家重点保护的珍贵、濒危野生动物，那么打死它的行为就可能构成危害珍贵、濒危野生动物罪。
   • 不同的保护级别，对应的刑罚也会有所不同。一般来说，保护级别越高，刑罚越重。

2. 行为人的主观故意：

   • 如果行为人明知林鸱是珍贵、濒危野生动物而故意打死，那么其主观恶性较大，刑罚也会相应较重。
   • 如果行为人是因为误认或者其他原因而无意打死林鸱，那么其主观恶性较小，刑罚也会相应较轻。

3. 行为情节：

   • 行为情节包括打死林鸱的方式、手段、时间、地点等。
   • 如果行为人使用残忍的方式或者在大庭广众之下打死林鸱，那么其行为情节恶劣，刑罚也会相应较重。

4. 法律规定：

   • 根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，危害珍贵、濒危野生动物罪是指非法猎捕、杀害国家重点保护的珍贵、濒危野生动物的，或者非法收购、运输、出售国家重点保护的珍贵、濒危野生动物及其制品的，处五年以下有期徒刑或者拘役，并处罚金；情节严重的，处五年以上十年以下有期徒刑，并处罚金；情节特别严重的，处十年以上有期徒刑，并处罚金或者没收财产。

综上所述，打死一只林鸱可能构成的犯罪及刑期需要依据林鸱的保护级别、行为人的主观故意、行为情节以及法律规定等多个因素来判断。因此，无法直接给出一个确定的刑期。如果你或者你身边的人遇到了类似的情况，建议尽快咨询专业律师，以便更好地了解可能面临的法律后果。