当您遇到赠送的食品被投诉的情况时，以下是我作为专业律师给您的详细处理建议：
首先，及时响应投诉：
- 尽快与投诉者取得联系，了解投诉的具体内容和诉求。这包括赠送食品的问题表现，如食品质量不佳、与描述不符、卫生状况有问题等。
其次，核实评估赠送食品：
- 对赠送的食品进行核实评估，确认是否存在质量问题。若确实存在问题，应根据问题的严重程度采取相应的措施。
接着，根据问题严重程度采取措施：
- 若问题较轻：如食品质量瑕疵不严重，可向投诉者诚恳致歉，并承诺给予一定补偿，如下次消费的优惠券或额外的小礼品等。
- 若问题较严重：如食品变质或存在安全隐患，除道歉外，应立即为投诉者更换食品，并考虑给予更丰厚的补偿，如本次消费免单或赠送高价值食品券等。
同时，追溯问题源头并整改：
- 对赠送食品的提供环节进行追溯，检查食材采购渠道、储存条件、制作流程等，从源头查找问题，避免类似投诉再次发生。
最后，保持与投诉者的良好沟通：
- 在处理过程中，要保持与投诉者的良好沟通，及时反馈处理进度，确保投诉得到妥善解决。这有助于维护您的良好形象和消费者权益。
综上所述，处理赠送的食品被投诉的情况时，关键在于及时响应、核实评估、采取措施、追溯源头并整改，以及保持与投诉者的良好沟通。希望这些建议能对您有所帮助。如果您有任何进一步的法律问题或需要更具体的帮助，请直接向我咨询。