针对事业单位劳务派遣专职驾驶员酒驾的处理方式，这主要涉及到两个层面的处理：一是法律层面的处理，二是事业单位内部的处理。

一、法律层面的处理

1. 饮酒驾车：当驾驶员血液中的酒精浓度在20mg/100ml至80mg/100ml之间时，将被视为饮酒驾驶。此时，驾驶员将面临6个月以内机动车驾驶证吊销以及1000到2000元不等罚款的处罚。

2. 醉酒驾驶：当驾驶员血液中的酒精浓度达到或超过80mg/100ml时，即构成醉酒驾驶，属于犯罪行为。此时，驾驶员需承担刑事责任，包括拘役和罚金。

二、事业单位内部的处理

事业单位对于其劳务派遣的专职驾驶员酒驾行为，也有权依据内部规定进行相应纪律处分。这些处分可能包括：

1. 警告：对于初次或情节较轻的酒驾行为，事业单位可能会给予警告处分。

2. 记过：对于酒驾行为造成一定影响或情节较重的，事业单位可能会给予记过处分。

3. 降级或撤职：对于酒驾行为严重损害事业单位形象或造成重大影响的，事业单位可能会给予降级或撤职处分。

4. 开除：对于醉酒驾驶构成犯罪或酒驾行为特别严重、影响极坏的，事业单位有权依据相关规定给予开除处分。

此外，值得注意的是，酒驾不仅违法，更可能对个人职业生涯造成严重的负面影响。因此，作为事业单位劳务派遣的专职驾驶员，应严格遵守交通法规，杜绝酒驾行为。

综上所述，事业单位劳务派遣专职驾驶员酒驾的处理方式既包括法律层面的处罚，也包括事业单位内部的纪律处分。驾驶员应时刻保持清醒头脑，坚决不酒驾，以确保自身和他人的安全。