当工厂拖着不给申请劳动能力鉴定时，劳动者可以采取以下措施来维护自己的权益：

首先，劳动者应明确自己有权申请劳动能力鉴定，这是法律赋予的权利。可以书面致函工厂，清晰说明工厂应配合的义务，并正式要求工厂协助办理劳动能力鉴定事宜。在书面函件中，要详细阐述自己的请求、理由以及法律依据，确保工厂了解并重视劳动者的诉求。

如果工厂拒绝配合或不予回应，劳动者可以向当地劳动行政部门投诉。劳动行政部门作为负责劳动事务的政府机构，有权监督并督促工厂履行其义务。在投诉时，劳动者应提供充分的证据材料，如书面函件、与工厂的沟通记录等，以证明工厂的不配合行为。

此外，劳动者还可以选择自行申请劳动能力鉴定。自行准备相关病历、诊断证明等材料，并向劳动能力鉴定委员会提出申请。委员会将按照法定程序进行鉴定，并出具鉴定结论。在此过程中，劳动者需确保提供的材料真实、完整，并密切关注鉴定进展。

在申请劳动能力鉴定的整个过程中，劳动者应特别注意保留证据。无论是与工厂的沟通记录、书面函件，还是自行申请鉴定过程中的相关材料，都应妥善保存。这些证据在可能出现的劳动纠纷或后续维权过程中，将起到至关重要的作用。

如果工厂的不配合行为导致劳动者权益受损，劳动者在完成工伤认定和劳动能力鉴定后，可以依据鉴定结果向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求工厂承担相应的工伤赔偿责任。通过合法途径维护自己的权益，是每位劳动者应有的权利。

总之，面对工厂拖着不给申请劳动能力鉴定的情况，劳动者应保持冷静、理性应对。通过书面致函、向劳动行政部门投诉、自行申请鉴定以及保留证据等措施，来切实维护自己的合法权益。