当债权人死亡后，其继承人提起诉讼的案由主要是被继承人债务清偿纠纷。以下是对此案由的详细解释：

结论前置

在债权人死亡的情况下，其继承人可以依据“被继承人债务清偿纠纷”为案由提起诉讼，要求债务人的继承人或债务承担者在遗产范围内清偿债务。

详细解释

1. 案由确定：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，继承人以所得遗产实际价值为限清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务。因此，当债权人死亡后，其继承人可以继承债权，并有权要求债务人的继承人或债务承担者在遗产范围内进行清偿。
   • 在此情况下，诉讼的案由自然是被继承人债务清偿纠纷，因为争议的核心在于如何清偿被继承人（即死亡的债权人）所遗留的债务。

2. 实例说明：

   • 假设甲是债权人，乙是债务人。甲在生前借给乙一笔钱，但甲随后去世。此时，甲的继承人（如甲的子女）可以继承这笔债权，并有权要求乙或乙的继承人在乙的遗产范围内清偿这笔债务。
   • 如果乙也去世，那么甲的继承人可以起诉乙的继承人，要求他们在乙的遗产范围内清偿债务。此时，诉讼的案由仍然是被继承人债务清偿纠纷。

3. 法律依据：

   • 《中华人民共和国民法典》第一千一百六十一条明确规定了继承人以所得遗产实际价值为限清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务的原则。
   • 这一规定为债权人死亡后其继承人提起诉讼提供了明确的法律依据，也确定了“被继承人债务清偿纠纷”作为此类诉讼的案由。

综上所述，当债权人死亡后，其继承人提起诉讼的案由应为“被继承人债务清偿纠纷”。这一案由既符合民法典的相关规定，也体现了对债权人及其继承人合法权益的保护。