外国人犯罪后的处理方式涉及多个层面，包括法律适用、司法程序、国际合作等。以下是对这一问题的详细解答：

一、法律适用原则

1. 属地管辖原则：犯罪行为发生地的国家通常拥有对该犯罪的管辖权。这意味着，无论犯罪人的国籍如何，只要其在某国实施了犯罪行为，该国就有权依据其国内法对其进行审判和处罚。

2. 属人管辖原则：在某些特定情况下，犯罪人的国籍国也可能对其拥有管辖权，特别是当犯罪行为涉及该国公民或国家利益时。但这通常需要与犯罪行为发生地国家进行协调或引渡。

3. 保护管辖原则：如果犯罪行为针对的是某国的国家或公民，并且该行为在该国也被视为犯罪，那么该国可能基于保护管辖原则对犯罪人行使管辖权。

4. 普遍管辖原则：对于某些严重的国际犯罪，如战争罪、反人类罪等，国际社会普遍认为任何国家都有权对其进行管辖，无论犯罪行为发生在何地或由何人实施。

二、司法程序

1. 逮捕与拘留：犯罪嫌疑人在外国被捕后，当地警方会依法对其进行拘留，并展开调查，以收集足够的证据来支持后续的起诉和审判。

2. 起诉与审判：检察机关会根据收集到的证据对犯罪嫌疑人提起公诉，法院则依法进行审判。在审判过程中，犯罪嫌疑人享有辩护权等合法权益，以确保审判的公正性。

3. 刑罚执行：如果犯罪嫌疑人被判定有罪，法院会根据其犯罪情节和法律规定判处相应的刑罚。刑罚的执行通常会在当地监狱或其他执行机构进行。

三、国际合作与引渡

1. 引渡制度：引渡是指一国将在该国境内而被他国追捕、通缉或判刑的人，根据有关国家的请求移交给请求国审判或执行处罚。引渡需要遵循一定的国际法和国内法规定，包括双重犯罪原则（即引渡请求所指的犯罪在请求国和被请求国均被认为是犯罪）和政治犯不引渡原则等。

2. 司法协助：除了引渡外，各国之间还可以通过司法协助的方式共同打击跨国犯罪。司法协助包括提供证据、协助调查、承认和执行外国判决等多种形式。这有助于加强各国之间的合作，共同维护国际社会的法治秩序。

四、特殊情况处理

以外国人在中国犯罪后又逃回本国为例，中国将依据属地管辖原则，通过司法程序、国际警务合作与引渡、刑事司法协助等多种手段，确保其受到应有的法律追究和制裁。具体措施包括：

• 启动司法程序，对案件进行侦查、起诉和审判。
• 通过国际刑警组织等渠道，向犯罪嫌疑人所在国的执法机关通报案件情况，请求协助查找犯罪嫌疑人的下落和实施临时逮捕等措施。
• 若犯罪嫌疑人所在国与中国签订了引渡条约，中国司法机关可依据条约规定向对方国家提出引渡请求。
• 若没有引渡条约，中国仍可通过外交途径、国际刑警组织等方式进行沟通和合作，争取将犯罪嫌疑人遣返回中国。
• 在某些情况下，如果该外国人无法被引渡回国且拒绝回国接受审判，中国在确保程序公正的前提下可以对其进行缺席审判。

综上所述，外国人犯罪后的处理方式是一个复杂而严谨的过程，涉及多个层面和多个部门的合作与协调。无论犯罪人逃往何处，各国都会通过国际合作和司法协助等手段，确保其受到应有的法律制裁。