劳动监察部门可以下文件要求公司补签劳动合同。下面我为你详细解释：

首先，根据《劳动保障监察条例》的相关规定，劳动监察部门有权对用人单位与劳动者订立和解除劳动合同的情况进行监察。这意味着，如果用人单位未与劳动者签订书面劳动合同，劳动监察部门是有权进行干预的。

其次，在实际操作中，如果劳动监察部门发现用人单位存在未与劳动者签订书面劳动合同的情况，他们通常会先进行调查取证，确认事实。一旦确认用人单位确实存在这一违法行为，劳动监察部门就可以依法向用人单位下达整改指令，要求其限期与劳动者补签劳动合同。

因此，如果你所在的用人单位未与你签订书面劳动合同，你可以向当地的劳动监察部门进行投诉。他们将会依法进行调查，并有可能下达文件要求用人单位与你补签劳动合同。

总的来说，劳动监察部门在维护劳动者合法权益方面发挥着重要作用，他们有权也有责任对用人单位的违法行为进行纠正。如果你遇到了类似的问题，不妨向劳动监察部门寻求帮助。