您好，关于您被小车撞伤且对方全责，自己垫付了医院费用的情况，以下是我的详细解答：
首先，结论上您不需要自己先行垫付全部医疗费用。 根据《道路交通安全法》的规定，若因抢救受伤人员需要保险公司支付或者垫付抢救费用，保险公司在接到公安机关交通管理部门的通知后，经核对应当及时向医疗机构支付或者垫付费用。因此，理论上应由对方的保险公司先行垫付这些费用。
具体处理建议如下：
与对方及保险公司沟通：
- 尽快与对方驾驶员和保险公司取得联系，明确告知他们事故责任认定情况，并要求保险公司按照法律规定垫付医疗费用。
- 如果保险公司未及时垫付，您可以考虑通过法律途径维护自己的合法权益。
自行垫付后的追偿：
- 若为了救治伤者，您已经自行垫付了部分医疗费用，请务必保留好所有相关的医疗费用票据和证明材料。
- 在事故处理完毕后，您可以向对方及其保险公司提出索赔要求，依据保留的票据和证明材料进行追偿。
对方无赔偿能力的情况：
- 若对方驾驶员无力赔偿，您可以向法院申请对其财产实施保全措施，避免其转移财产。
- 同时，向法院提起诉讼，通过法律程序明确赔偿责任和金额，并在判决生效后申请强制执行其名下财产。
保险公司赔付流程：
- 在对方全责的情况下，保险公司一般会在交强险范围内先行赔付，包括医疗费用、财产损失等。
- 超出交强险范围的部分，由商业三者险按照保险合同的约定进行赔付；若对方未购买商业三者险，则需由对方车主个人承担。
总结：在交通事故中，若对方全责且您已垫付医疗费用，应首先与对方及保险公司沟通要求垫付或赔偿。若沟通无果，可通过法律途径维护自己的权益。同时，务必保留好所有相关票据和证明材料，以便后续追偿。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。