在诉讼期间，如果原告死亡，其继承人需要向法院提交书面申请以继续参与诉讼，该申请应明确表明继承人的身份、继承关系以及继续参与诉讼的意愿。以下是一份基本的申请模板和相关的法律依据：
一. 申请模板：
[法院名称]
案号：[具体案号]
申请人（继承人）信息：
姓名：[继承人姓名]
身份证号码：[继承人身份证号码]
联系方式：[继承人联系电话及地址]
被申请人（原被告对方当事人）信息：
姓名/名称：[对方当事人姓名/名称]
联系方式：[对方当事人联系电话及地址]
申请事项：
请求法院允许申请人作为继承人继续参与本案诉讼。
事实与理由：
申请人[继承人姓名]系原原告[原告姓名]的[继承关系，如儿子、女儿等]，原原告[原告姓名]于[具体日期]因[死亡原因]去世。根据《中华人民共和国民法典》及相关法律规定，申请人作为原原告的合法继承人，有权继承其诉讼权利，并继续参与本案诉讼。
为此，申请人特向贵院提出申请，请求贵院允许申请人作为继承人继续参与本案诉讼，以维护申请人的合法权益。
此致
[法院名称]
申请人：[继承人签名]
[日期]
二. 法律依据：
《中华人民共和国民事诉讼法》第一百五十四条：有下列情形之一的，终结诉讼：……（三）离婚案件一方当事人死亡的；……（五）作为一方当事人的法人或者其他组织终止，尚未确定权利义务承受人的；……。但本案并非离婚案件，且已确定继承人作为权利义务承受人，故诉讼不应终结，应由继承人继续参与。
《中华人民共和国民法典》第一千一百二十三条：继承开始后，按照法定继承办理；有遗嘱的，按照遗嘱继承或者遗赠办理；有遗赠扶养协议的，按照协议办理。本案中，申请人作为原原告的合法继承人，有权继承其诉讼权利。
《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国民事诉讼法〉的解释》第五十五条：在诉讼中，一方当事人死亡，需要等待继承人表明是否参加诉讼的，裁定中止诉讼。人民法院应当及时通知继承人作为当事人承担诉讼，被继承人已经进行的诉讼行为对承担诉讼的继承人有效。
我的观点：根据上述法律依据，原告在诉讼期间死亡，其继承人完全有权继续参与诉讼，以维护继承人的合法权益。因此，继承人应按照上述模板向法院提交书面申请，并附上相关证明材料，如身份证、继承关系证明等，以便法院及时确认继承人的诉讼地位。如有进一步需要，您可以继续咨询我。