当立遗嘱人死亡后，执行遗嘱主要遵循以下步骤和法律规定：
一、确认遗嘱的有效性
遗嘱形式：首先，需要确认遗嘱是否符合《民法典》中规定的遗嘱形式，包括自书遗嘱、代书遗嘱、录音遗嘱、口头遗嘱、公证遗嘱、打印遗嘱和录像遗嘱。每种遗嘱形式都有其特定的要求和规定，如自书遗嘱需由遗嘱人亲笔书写、签名，并注明年、月、日。
见证人要求：对于需要见证人的遗嘱形式（如代书遗嘱、打印遗嘱、录音录像遗嘱等），应确保见证人的资格和数量符合法律规定，且见证过程符合时空一致性的要求。
遗嘱内容：遗嘱内容应明确、具体，表明遗嘱人的真实意愿，且不违反法律、行政法规的强制性规定。
二、确定遗嘱执行人
遗嘱指定：如果遗嘱中明确指定了遗嘱执行人，则应由该执行人负责遗嘱的执行。
法定继承人：如果遗嘱中没有指定执行人，或者指定的执行人无法履行职责，则通常由法定继承人中的一人或数人（如遗嘱继承人的继承人）负责执行。
三、处理遗嘱中的财产
遗嘱继承：如果遗嘱中指定了继承人，且该继承人未先于遗嘱人死亡，则遗产应按照遗嘱的分配方式进行继承。
法定继承：在以下情况下，遗产将按照法定继承办理：
受遗赠人：如果遗嘱中将遗产赠给了法定继承人以外的组织或个人（即受遗赠人），则受遗赠人应在知道受遗赠后六十日内作出接受或放弃的表示，否则视为放弃受遗赠。
四、特殊情况的处理
遗嘱继承人和受遗赠人先于遗嘱人死亡：如上述案例中所示，如果遗嘱继承人或受遗赠人先于遗嘱人死亡，则遗嘱中指定由其继承或受赠的遗产部分将按照法定继承办理。
遗嘱的变更和撤销：遗嘱人在生前有权随时变更或撤销其所立的遗嘱，但应以最后所立的遗嘱为准。如果遗嘱人立有数份遗嘱且内容相抵触，也应以最后的遗嘱为准。
五、执行遗嘱的注意事项
尊重遗嘱人的意愿：在执行遗嘱时，应严格遵循遗嘱人的意愿和遗嘱中的分配方式。
遵守法律规定：遗嘱的执行必须遵守国家的相关法律规定和程序要求。
保护遗产安全：在执行遗嘱过程中，应确保遗产的安全和完整，防止遗产被侵占或损失。
综上所述，执行遗嘱是一个涉及法律、情感和财产分配等多方面的复杂过程。在执行过程中，应严格遵循法律规定和遗嘱人的意愿，确保遗产的合法、公正和有序分配。