信用卡欠费1万多确实存在被起诉的可能性，但具体是否会起诉取决于多种因素。

一般来说，银行在多次催收无果后，有可能会采取法律手段。若持卡人经发卡银行两次催收后超过三个月仍不归还，且欠款数额在一万元以上，达到刑法规定的“恶意透支”标准，银行就可能以信用卡诈骗罪向公安机关报案，进而引发刑事诉讼。不过，欠款1万多未达信用卡诈骗罪的入罪标准（五万元），一般不涉及刑事追责，但仍需尽快与银行沟通协商还款方案，避免欠款增多或长期不还带来更大的法律风险。

从民事角度讲，若持卡人经发卡银行多次催收后仍未归还欠款，银行很可能会向法院提起诉讼，要求持卡人偿还欠款本金、利息、滞纳金等费用。法院判决后，若持卡人败诉却不履行还款义务，银行可申请强制执行，法院有权查询、冻结、划拨其财产，还可能将持卡人列入失信被执行人名单，限制其高消费等。

但如果持卡人有积极还款意愿，比如每月有还款记录，或与银行协商制定了合理还款计划等，银行通常会给予一定宽限期，暂不起诉。因此，建议你及时与银行沟通，说明自身经济状况，争取达成个性化分期还款协议，避免逾期带来更严重的后果。