当交强险的赔偿金额不足以覆盖交通事故造成的全部损失时，通常情况下的处理流程如下：

首先，明确的是交强险作为一种强制保险，其主要目的是在交通事故发生后为受害人提供基本的保障。当交通事故发生后，会首先由交强险在其责任限额内进行赔偿，以快速、有效地解决受害人的部分损失，减轻经济负担。

然而，若交强险的赔偿额度不足以弥补受害人的全部损失，那么剩余的赔偿责任通常应当由侵权人来承担。这体现了侵权人对其侵权行为所造成后果的责任承担原则。也就是说，在交强险赔偿之后，如果还有不足的部分，侵权人应当先行垫付这部分费用。

但是，如果侵权人在事故发生后逃逸，为了保障受害人的合法权益能够得到及时的维护，此时道路交通事故社会救助基金便会发挥作用。救助基金可以先行垫付部分费用，如抢救费用等，以确保受害人能够得到及时的救治。这体现了法律对受害人的特殊保护，避免因侵权人的逃逸而导致受害人无法获得及时的救助。

同时，也需要明确的是，救助基金在垫付费用之后，是有权向道路交通事故的责任人进行追偿的。这确保了救助基金的资金不会被无故占用，而是能够得到合理的回收。

综上所述，交强险不足部分通常由侵权人先行垫付；若侵权人逃逸，则道路交通事故社会救助基金会先行垫付部分费用，并有权向责任人追偿。这样的制度设计旨在确保受害人在遭遇交通事故后能够得到及时、有效的救助和赔偿，维护社会的公平正义。