继母是否拥有继子的监护权，这个问题需要根据具体情况来分析。

首先，我们要明确的是，父母对未成年子女的监护权是法定权利，这种权利不受父母之间婚姻关系解除的影响。也就是说，即使夫妻离婚，与子女共同生活的一方也无权取消对方对未成年子女的监护权。当然，如果未与该子女共同生活的一方对该子女有犯罪行为、虐待行为或者对该子女明显不利，人民法院有权取消其监护权。

对于继母来说，如果她仅仅是因为与继子的生父结婚而成为继母，并没有经过继子的生父母同意收养继子，那么她并没有自动获得继子的监护权。在这种情况下，继母与继子之间并没有建立拟制血亲法律关系，因此继母并不具备继子的监护人身份。

然而，如果继母经过继子的生父母同意，收养了继子，并与继子建立了拟制血亲法律关系，那么她就依法成为了未成年继子女的监护人。在这种情况下，监护权发生了转移和变更，作为送养人的生父或生母则对已经送养的子女不再有监护权。

综上所述，继母是否拥有继子的监护权取决于她是否与继子建立了拟制血亲法律关系。如果没有建立这种关系，继母就没有继子的监护权；如果建立了这种关系，继母就依法成为了继子的监护人。