面对非机动车逃逸事故后对方狮子大开口的赔偿要求，您应当冷静、理性地应对，并依法采取合理措施来解决纠纷。以下是一些具体的建议：

一、保持冷静并收集证据

1. 保持冷静：首先，不要被对方的威胁或高额索赔要求吓到，保持理性和冷静是解决问题的关键。
2. 收集证据：立即停车并采取必要措施，如拍照、录像等，以保留现场证据。同时，寻找目击证人并记录他们的联系方式，以便后续提供第三方证词。

二、核实损失与明确赔偿范围

1. 医疗费用：要求对方提供详细的病历、诊断证明、医疗费用清单等正规医疗文件，核实其受伤治疗的真实性和合理性。
2. 财产损失：对于车辆或其他财物的损坏，应查看维修发票、定损单等凭证。如有异议，可以共同委托或由交警指定有资质的第三方评估机构重新评估。
3. 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，赔偿应涵盖医疗费、护理费、交通费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。造成残疾的，还应赔偿辅助器具费和残疾赔偿金。

三、与对方协商

1. 友好协商：在收集到充分证据后，尝试与对方进行友好协商，说明自己的无意之举（如果适用），并表达愿意承担合理赔偿的意愿。
2. 展示证据：向对方展示收集到的证据，以证明自己的清白和诚意，同时明确告知对方赔偿应当基于实际的损失和法律规定，不合理的要求无法接受。

四、寻求调解与法律途径

1. 交警调解：可以请求交警部门介入调解，他们有丰富的处理交通事故的经验，会依据事实和法律对赔偿问题进行公正的调解。
2. 人民调解委员会调解：如果交警调解不成，可以申请人民调解委员会进行调解。这是依法设立的调解民间纠纷的群众性组织，其调解具有权威性和公正性。
3. 法律咨询与诉讼：在整个过程中，可以随时向专业律师咨询，了解自己的权利和义务。如果对方始终坚持不合理的赔偿要求，且无法通过协商和调解解决，可以明确告知对方让其通过向法院提起民事诉讼来解决赔偿问题。法院会依据双方提交的证据和法律规定做出公正的判决。

五、注意自我保护

1. 避免私下解决：尽量不要在缺乏法律保障的情况下私下达成赔偿协议，以免后续产生更多纠纷。
2. 保持冷静与理智：在处理此类问题时，务必保持冷静和理智，避免因情绪激动而做出不理智的决定。

综上所述，面对非机动车逃逸事故后对方狮子大开口的赔偿要求，您应保持冷静、收集证据、与对方协商、寻求调解或法律途径，并确保赔偿基于实际损失和法律规定。这样既能保护自己的权益，也能维护社会的公平正义。