当公司解除员工劳动合同却不开具证明时，员工应当明确自己的权益并采取相应措施来维护。以下是对此问题的详细解答：
一、明确公司义务与法律责任
根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十条的明确规定，用人单位在解除或终止劳动合同时，必须出具解除或终止劳动合同的证明，并在十五日内为劳动者办理档案和社会保险关系转移手续。这是用人单位的法定义务，旨在保障劳动者的合法权益，确保他们离职后能够顺利办理相关手续，如再就业、社保关系转移及领取失业保险金等。
二、公司不开具证明可能给员工造成的损害
- 再就业困难：新用人单位在录用员工时，往往要求提供上一家单位的解除劳动合同证明。若原公司未出具该证明，可能导致员工无法顺利入职新单位，进而遭受工资收入等损失。
- 社保与福利受损：没有解除劳动合同证明，员工可能无法及时办理社保关系转移，影响社保权益的连续性和享受。同时，在申领失业保险金等福利待遇时，该证明也是必不可少的材料。
三、员工的维权途径
与公司友好协商：
- 首先，员工应尝试与公司的人力资源部门或相关负责人进行友好沟通，明确指出公司有义务出具解除劳动合同证明，并告知其不出具可能面临的法律后果。
- 如果口头沟通无果，可以提交书面申请，明确说明离职时间、职位以及要求开具证明的具体原因和用途。
向劳动监察部门投诉：
- 若公司拒绝开具证明，员工可以向当地的劳动监察大队投诉。
- 劳动监察大队会依法进行调查核实，并责令公司限期改正。若公司逾期不改且给员工造成损害，还需承担赔偿责任。
申请劳动仲裁：
- 若公司仍拒绝改正或协商无果，员工可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
- 在仲裁过程中，员工需要提供相关证据（如劳动合同、工资条、工作证、与公司沟通的记录等）以证明双方存在劳动关系及公司解雇的事实。同时，员工可以主张公司开具证明及赔偿因未出具证明而造成的损失。
提起诉讼：
- 如果对仲裁结果不满意或仲裁委员会未予受理，员工可以在规定的期限内向人民法院提起诉讼。
- 通过司法途径维护自己的合法权益，包括要求公司出具解除劳动合同证明及赔偿相关损失。
寻求法律援助：
- 在维权过程中，如果员工遇到法律难题或需要专业帮助，可以寻求专业律师的法律援助。
- 律师可以提供法律咨询、评估案件可行性、提供法律建议，并代表员工与公司进行协商或提起诉讼。
四、总结与建议
公司解雇员工却不开具解除劳动合同证明是违法的，员工应依法维护自己的权益。在维权过程中，员工应保持冷静和理性，采取合法、有效的措施来维护自己的合法权益。同时，也建议员工在离职前与公司做好沟通，确保离职手续的顺利办理。如果遇到困难或问题，应及时寻求专业法律帮助。