便利店卖假烟的处罚措施是相对严厉且全面的，旨在维护市场秩序和消费者权益。具体来说，便利店如果售卖假烟，将面临以下几个层面的处罚：

一、行政层面处罚

1. 责令停止销售：烟草专卖行政主管部门会首先责令便利店立即停止销售假烟的行为。
2. 没收违法所得：便利店通过销售假烟所获得的全部违法所得将被没收。
3. 罚款：根据违法销售总额，便利店将被处以一定比例的罚款。具体来说，罚款金额可能是违法销售产品货值金额的百分之五十以上三倍以下，或者是违法销售总额的20%以上50%以下，具体比例可能因地区和具体政策而异。
4. 公开销毁非法产品：非法销售的烟草专卖品将被公开销毁，以此起到警示作用。

二、法律层面责任

如果便利店售卖假烟的行为情节严重，涉嫌销售伪劣产品罪，那么将面临刑事处罚。依据销售金额的不同，量刑和罚金也会有所差异：

1. 销售金额在五万元以上不满二十万元：会被处二年以下有期徒刑或者拘役，并处或单处销售金额百分之五十以上二倍以下罚金。
2. 销售金额二十万元以上不满五十万元：处二年以上七年以下有期徒刑，并处销售金额百分之五十以上二倍以下罚金。

如果情节更为严重，刑罚将会更重。

三、消费者维权途径

对于消费者来说，如果购买到了假烟，可以通过以下途径维权：

1. 向烟草专卖部门或工商部门投诉：消费者可以向相关部门投诉便利店售卖假烟的行为。
2. 要求赔偿损失：投诉后，消费者有权要求涉事便利店赔偿因购买假烟而造成的损失。

综上所述，便利店卖假烟的处罚措施是全面且严厉的，不仅包括行政层面的处罚，还可能涉及法律层面的责任。同时，消费者也有权通过合法途径维护自己的权益。因此，建议便利店务必遵守相关法律法规，确保所售商品的真实性和合法性。