反证法之所以通过否定不成立就能证明原命题，其逻辑基础在于形式逻辑的基本规律：矛盾律和排中律。

首先，我们来看矛盾律。矛盾律指的是在同一思维过程中，对同一事物的互相矛盾的判断（命题），不能都是真的，至少有一个是假的。在反证法中，我们假设原命题的结论不成立（即为假），然后通过正确的逻辑推理，如果导出了矛盾，那么根据矛盾律，这个假设（即原命题的结论为假）就是不可能的，从而证明了原命题的正确性。

接下来，我们再来看排中律。排中律指的是在同一思维过程中，对同一事物的互相矛盾的判断（命题），不能都是假的，至少有一个是真的。在反证法中，原命题和它的否定（即假设的结论不成立）是一对互相矛盾的命题。根据排中律，它们不能同时都是假的。当我们通过反证法导出矛盾，证明了原命题的否定是假的时，根据排中律，原命题就必然是真的。

举个例子来说明反证法的应用：

假设我们要证明“所有的猫都会捉老鼠”这一命题。我们可以使用反证法：

1. 假设命题的结论不成立，即“存在至少一只猫不会捉老鼠”。
2. 根据这个假设，我们可以进行逻辑推理，比如考虑这只不会捉老鼠的猫在猫群中的行为、生存能力等，可能会导出一些与已知事实或常识相矛盾的结论（比如，如果猫不会捉老鼠，那么它如何在自然界中生存？）。
3. 当我们导出矛盾时，根据矛盾律，我们知道这个假设是不可能的，即“存在至少一只猫不会捉老鼠”这一命题是假的。
4. 根据排中律，原命题“所有的猫都会捉老鼠”和它的否定“存在至少一只猫不会捉老鼠”不能同时都是假的。既然否定是假的，那么原命题就必然是真的。

综上所述，反证法通过假设原命题的结论不成立，并导出矛盾，从而证明了原命题的正确性。这种证明方法的有效性依赖于矛盾律和排中律这两个形式逻辑的基本规律。