事业单位人员长期请病假一般情况下不可以开除。但具体是否可以被开除，需根据具体情况和相关法律法规来判断。以下是对此问题的详细分析：

1. 医疗期内的保护：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条及《事业单位人事管理条例》等相关规定，事业单位员工患病或非因工负伤，在规定的医疗期内，单位不得解除劳动合同。
   • 医疗期的具体长度根据员工实际参加工作年限和在本单位工作年限来确定，一般给予三个月到二十四个月的医疗期。
   • 在此期间，员工的合法权益如病假工资等应按照相关规定发放。

2. 医疗期满后的处理：

   • 当员工医疗期满后，若仍不能从事原工作，也不能从事由单位另行安排的工作，根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十条的规定，单位可以提前三十日以书面形式通知员工本人或者额外支付员工一个月工资后，解除劳动合同。
   • 解除劳动合同的同时，单位还需根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十六条的规定，向员工支付经济补偿。

3. 特定情形下的辞退：

   • 如果员工严重违反单位规章制度，如通过不正当手段获取虚假证明来请长期病假，单位有权依据相关法律规定解除聘用合同。
   • 如果事业单位与员工签订的聘用合同中有关于特定情形下可以解除合同的明确约定，并且这些约定不违反法律法规的强制性规定，当这些约定情形出现时，单位可以按照合同约定辞退员工。

综上所述，事业单位人员在长期请病假期间，一般情况下单位不能随意辞退。但医疗期满后，若员工不能从事原工作或单位另行安排的工作，或存在严重违反规章制度等特定情形，单位可以依法辞退，并可能需要支付经济补偿。因此，在处理此类问题时，单位应严格遵守相关法律法规，确保员工的合法权益得到充分保障。如果您有具体的法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。