当您购买到发霉的筷子时，可以按照以下步骤来申请赔偿：

一、保留关键证据

1. 购买凭证：请妥善保存购物小票、发票或收据等，这些凭证应能证明您的购买行为，包括购买时间、地点和商品名称等详细信息。
2. 问题商品：将发霉的筷子用干净的塑料袋密封保存，防止霉菌扩散或证据受损。这是维权的关键证据，切勿丢弃或损坏。

二、与商家协商

1. 及时沟通：发现问题后，尽快携带购买凭证和问题商品前往商家客服中心或找到相关负责人进行沟通。清晰、诚实地说明情况，表达您的维权意愿。
2. 提出合理诉求：根据《中华人民共和国消费者权益保护法》等相关法律法规，您有权要求商家退货、退款，并可以根据实际情况要求一定的赔偿。例如，您可以提出全额退款，并要求商家给予一定的补偿，以弥补您因此事可能遭受的健康风险和不便。

三、向相关部门投诉

如果与商家协商无果，您可以向以下部门投诉：

1. 拨打12315热线：这是消费者投诉举报专线电话，接线人员会详细记录您的投诉内容，并根据属地管理原则将投诉转交给相关部门处理。
2. 通过全国12315平台投诉：您可以登录全国12315平台进行在线投诉，填写详细的投诉信息，并上传购买凭证和问题商品的照片等证据。
3. 向当地市场监督管理部门投诉：您还可以直接向当地的市场监督管理部门进行现场投诉，工作人员会受理您的投诉，并对商家进行调查核实。

四、法律途径解决

如果以上途径均无法解决问题，您可以考虑通过法律途径解决：

1. 仲裁：如果您与商家事先达成了仲裁协议，可以根据协议提请仲裁机构进行仲裁。仲裁结果具有法律效力，双方应当履行。
2. 诉讼：若其他途径均无法解决问题，您可以向人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，您需要提供充分的证据证明商家的销售行为侵害了您的合法权益。法院将根据法律规定和事实情况进行审理，并作出判决。

此外，如果您是在外卖平台购买食品时附带的筷子发霉，根据《中华人民共和国食品安全法》的相关规定，您还可以向经营者或生产者要求赔偿损失。赔偿金额可以是购买价格的十倍或者遭受损失的三倍；如果最终获得的赔偿金额低于一千元，则应按照一千元进行赔偿。

总之，当您购买到发霉的筷子时，应保留好证据，与商家协商，必要时向相关部门投诉或寻求法律途径解决。