当民事开庭期间被告人被刑事拘留时，处理方式会根据具体情况有所不同。以下是对此问题的详细解答：

一、明确拘留原因

首先，要弄清楚被告人被拘留的具体原因。常见的拘留情况有两种：

1. 司法拘留：通常是因为被告人未履行判决义务等原因而被法院采取的强制措施。
2. 刑事拘留：因涉嫌新的违法犯罪而被公安机关采取的强制措施。

二、根据不同拘留情况的处理方式

1. 司法拘留时的庭审处理

   • 司法拘留并不影响被告人参与庭审的义务和权利。
   • 被告人仍有权在庭审中陈述、举证、质证等。
   • 法院会在保障被告人人身安全的前提下，确保其能充分参与庭审活动，以维护被告人的合法诉讼权益。

2. 刑事拘留时的庭审处理

   • 如果被告人因涉嫌新的违法犯罪被刑事拘留，法院会根据案件的具体进展和相关法律规定来决定是否变更开庭程序。
   • 可能会选择延期审理，以保障整个诉讼程序的合法性和公正性，从而确保各方当事人的权益得到妥善处理。
   • 若民事案件与刑事案件无关，法院可以继续审理，并可能进行缺席判决。判决生效后，原告可以申请强制执行被告财产。
   • 若民事案件需以刑事案件审理结果为依据，且刑事案件未审结，民事案件会中止审理，待刑事案件结束后再恢复。

三、被告人的诉讼权利保障

• 在被告人被刑事拘留期间，其诉讼权利可由法定代理人、近亲属或委托的诉讼代理人代为行使。
• 被告人应及时委托代理人参与诉讼，以避免自身权益受损。

四、民事责任的判定与诉讼程序的推进

• 即便被告人被刑事拘留，其民事责任的判定仍依据民事法律和证据进行。
• 法院会独立依据民事法律和证据进行裁决，判断被告是否存在民事违法行为及过错程度，进而确定其应承担的民事责任。
• 若被告人能委托诉讼代理人参加诉讼，诉讼程序可按照民事诉讼正常流程进行。
• 若被告人无法委托代理人且必须出庭，案件可能会中止诉讼，待被告人刑事程序结束后能参加诉讼时，再恢复诉讼。

综上所述，当民事开庭期间被告人被刑事拘留时，应首先明确拘留原因，并根据不同情况采取相应的处理方式。同时，要确保被告人的诉讼权利得到保障，并依法进行民事责任的判定和诉讼程序的推进。