首先，对于十岁孩子私牵邻居的狗致其断腿这一事件，需要明确的是，孩子（作为未成年人）和狗的主人（邻居）都可能涉及一定的责任。以下是对此事件的处理建议：

1. 立即救治狗狗：

   • 首先应确保受伤狗狗得到及时的医疗救治，以减少其痛苦和避免伤势恶化。

2. 明确责任划分：

   • 孩子作为未成年人，其行为应由其监护人（通常是父母）负责。因此，孩子父母可能需要承担因孩子行为导致的狗狗受伤的医疗费用等损失。
   • 同时，也需要考虑狗狗主人是否对狗狗的管理存在疏忽，比如是否未拴狗绳、是否未对狗狗进行必要的看护等。如果狗狗主人存在管理疏忽，也可能需要承担一定的责任。

3. 协商赔偿事宜：

   • 在明确责任后，双方应协商赔偿事宜。孩子父母应主动与狗狗主人沟通，了解医疗费用、护理费用等具体损失，并尽力协商达成合理的赔偿方案。
   • 如果双方无法就赔偿事宜达成一致，可以考虑通过调解、诉讼等方式解决纠纷。

4. 加强教育和监管：

   • 对于孩子来说，这次事件是一次深刻的教训。父母应加强对孩子的教育和监管，引导孩子尊重他人财产和生命安全，避免类似事件再次发生。
   • 同时，狗狗主人也应加强对狗狗的管理和看护，确保狗狗不会因管理疏忽而受到伤害。

综上所述，对于十岁孩子私牵邻居的狗致其断腿这一事件，应首先确保受伤狗狗得到及时救治，并明确责任划分。在协商赔偿事宜的同时，双方也应加强教育和监管，以避免类似事件的再次发生。如果你在此过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。