在婚外赠予纠纷案中，应主要调查被告是否存在将夫妻共同财产擅自赠予第三方的行为。具体分析如下：

一. 调查被告的赠予行为

1. 赠予财产的来源：需确认被告赠予的财产是否属于夫妻共同财产。根据《中华人民共和国民法典》第一千零六十二条，夫妻在婚姻关系存续期间所得的财产，如工资、奖金、劳务报酬、生产、经营、投资的收益等，均为夫妻的共同财产，归夫妻共同所有。
2. 赠予行为的合法性：调查被告是否未经另一方同意，擅自将夫妻共同财产赠予第三方。此行为可能侵犯了另一方的财产权益。

二. 调查被告与第三方的关系

1. 确认婚外情关系：虽然婚外情本身不是法律调查的重点，但确认被告与第三方是否存在婚外情关系，有助于理解赠予行为的动机和背景。
2. 赠予是否基于不正当关系：若赠予是基于婚外情等不正当关系，那么该赠予行为可能被视为对夫妻共同财产的非法处置。

三. 调查赠予财产的去向

1. 追踪赠予财产：了解被告赠予的财产是否已被第三方接收，以及财产的具体去向。
2. 评估财产价值：对赠予的财产进行价值评估，以便在后续的法律程序中确定赔偿或返还的金额。

综上所述，在婚外赠予纠纷案中，应重点调查被告的赠予行为、与第三方的关系以及赠予财产的去向。这些调查内容将有助于确定被告是否存在违法行为，并据此作出相应的法律裁决。如有进一步需要，您可以继续咨询我。