在债务抵消通知有异议的情况下，通知人和被通知人均有可能享有诉权，具体取决于异议的性质和具体情境。

首先，我们需要明确债务抵消的基本概念。债务抵消，通常指的是在两个或多个债务人间，各自互负债务且债务标的物种类、品质相同的情况下，任一方可以将其债务与对方的到期债务进行抵消的法律行为。当一方发出债务抵消通知，而另一方对此有异议时，就涉及到了诉权的问题。

1. 通知人的诉权：

   • 如果通知人发出的抵消通知符合法律规定的条件，但被通知人无理拒绝或提出异议，且该异议并不成立，那么通知人有权通过诉讼来确认抵消的效力，即要求法院确认其抵消行为是合法有效的。

2. 被通知人的诉权：

   • 被通知人在收到抵消通知后，如果认为通知人的抵消行为不符合法律规定的条件，例如债务并不存在、债务数额不符、债务已清偿或已过期等，被通知人有权向法院提起诉讼，请求确认抵消无效或要求赔偿因抵消行为给其造成的损失。

在实际操作中，无论是通知人还是被通知人，当对债务抵消通知有异议时，都应当首先尝试通过协商的方式解决争议。如果协商无果，那么可以根据具体情况，选择向法院提起诉讼来维护自己的合法权益。

总之，债务抵消通知有异议时，诉权的归属并非一成不变，而是需要根据异议的性质和具体情境来判断。无论是通知人还是被通知人，在面临此类问题时，都应当咨询专业律师，以获取更具体、更准确的法律建议。当然，如果你有任何关于经济纠纷或民间借贷的问题，都可以直接向我咨询，我会尽我所能为你提供帮助。