刑事拘留37天取保候审的执行机关一般是公安机关。具体分析如下：
一. 取保候审的决定与执行
- 决定机关：在刑事拘留37天这个阶段，若符合取保候审条件，申请提出后，决定机关可以是公安机关、人民检察院、人民法院。
- 执行机关：当上述决定机关作出取保候审决定后，执行机关通常为公安机关。公安机关负责对被取保候审人执行监管，监督其遵守相关规定，如未经执行机关批准不得离开所居住的市、县，住址、工作单位和联系方式发生变动的，在二十四小时以内向执行机关报告等。
二. 特殊情况
- 国家安全机关决定取保候审的，以及人民检察院、人民法院在办理国家安全机关移送的犯罪案件时决定取保候审的，由国家安全机关执行。
三. 取保候审的法律意义
- 取保候审是刑事诉讼过程中的一种强制措施，并非对犯罪嫌疑人、被告人的最终定罪。在取保候审阶段，案件仍处于侦查、审查起诉或审判进程中。
综上所述，刑事拘留37天取保候审的执行机关一般是公安机关，但也存在特殊情况由国家安全机关执行。取保候审只是刑事诉讼过程中的一个阶段，最终案件的处理结果还需依据法院的审判。如有进一步需要，您可以继续咨询我。