事业单位提拔后不能延长试用期。具体分析如下：
一. 试用期的约定与延长
- 试用期的约定：根据《中华人民共和国劳动合同法》第十九条，劳动合同期限三个月以上不满一年的，试用期不得超过一个月；劳动合同期限一年以上不满三年的，试用期不得超过二个月；三年以上固定期限和无固定期限的劳动合同，试用期不得超过六个月。这一规定明确了试用期的最长时长，且同一用人单位与同一劳动者只能约定一次试用期。
- 试用期的延长：法律并未规定试用期可以延长的情况，且明确规定了试用期的最长时长和只能约定一次的原则。因此，事业单位在提拔员工后，不能延长其试用期。
二. 事业单位提拔与试用期
- 事业单位提拔员工，通常是基于员工的工作表现、能力等因素进行的，与试用期无直接关联。提拔后，员工应直接按照新的职位和职责进行工作，而无需再次经历试用期。
三. 法律建议
- 如事业单位试图延长员工的试用期，员工可以依据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，维护自己的合法权益，拒绝不合理的试用期延长要求。
我建议，如有事业单位试图在提拔员工后延长其试用期，员工应明确拒绝，并可根据法律规定寻求法律援助。如有进一步需要，您可以继续咨询我。