事业单位试用期内请病假，试用期一般不可以延长。以下是对此问题的详细分析：

一、法律依据

根据我国《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，同一用人单位与同一劳动者只能约定一次试用期。这意味着，一旦试用期在劳动合同中明确约定，就不得随意延长或更改。因此，从法律层面讲，事业单位不能因为员工在试用期内请病假就单方面延长试用期。

二、实际操作与影响

1. 病假对试用期考核的影响：

   • 虽然病假不能作为延长试用期的依据，但它可能会影响试用期的考核结果。因为试用期是单位对新员工进行考察的阶段，主要评估员工的工作能力、工作态度、职业素养等方面是否符合岗位要求。如果因长期病假导致无法正常参与工作、完成工作任务，可能会让单位认为该员工不能胜任岗位工作，从而影响试用期转正。

2. 单位规章制度：

   • 事业单位通常会有自己的人事管理规章制度，对病假的申请条件、流程、期限等作出具体规定。这些规定在不违反法律法规强制性规定的前提下，对员工具有约束力。但即便如此，单位也不能违反《劳动合同法》中关于试用期的规定，单方面延长试用期。

3. 双方协商：

   • 如果双方经过友好协商达成一致意见，可以在法律允许的最长时限内适当延长试用期。但这种情况需要双方自愿，且不得违反法律法规的强制性规定。如果双方未能就此事达成共识，单位则无权单方面决定延长试用期。

三、建议与注意事项

1. 查阅单位规章制度：

   • 在请病假前，务必查阅所在事业单位的规章制度，了解关于病假特别是长期病假的相关规定。这有助于你更好地了解自己的权益和义务，避免因不了解规定而产生不必要的麻烦。

2. 及时沟通并提交申请：

   • 与单位的人事部门或相关负责人保持沟通，按照单位的流程及时提交病假申请及相关医疗证明。这有助于确保你的权益得到保障，并减少可能的误解或麻烦。

3. 关注试用期考核：

   • 在病假期间，尽量保持与单位的联系，了解试用期的考核情况。如果可能的话，可以尝试通过远程工作或其他方式完成一些工作任务，以展示你的工作能力和态度。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。我会根据你的具体情况，提供更详细、更专业的法律建议。