提离职之后，如果员工按照公司规定申请住院病假，并提供了真实有效的病假证明，公司通常不能不批。以下是对此问题的详细分析：
一. 员工提离职后的病假权利
- 病假申请的合法性：根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》第三条，企业职工因患病或非因工负伤，需要停止工作医疗时，有权根据本人实际参加工作年限和在本单位工作年限，享受一定期限的医疗期。这意味着，即使员工已经提出离职，但在离职前的这段时间内，如果因病需要停止工作医疗，他们仍然享有申请病假的权利。
- 病假证明的必要性：员工在申请病假时，必须提供真实有效的病假证明。这是公司批准病假的重要依据。如果员工能够提供这样的证明，并且按照公司规定的流程申请病假，那么公司通常应当批准其病假申请。
二. 公司的批准义务
- 按照规定流程审批：公司在收到员工的病假申请后，应当按照公司规定的流程进行审批。如果员工已经按照要求提供了病假证明，并且符合公司规定的病假申请条件，那么公司应当批准其病假申请。
- 不得无故拒绝：除非员工没有提供充分的病假证明或未按照公司规定的流程申请病假，否则公司不得无故拒绝员工的病假申请。如果公司无故拒绝员工的病假申请，可能会面临法律风险。
综上所述，提离职之后，如果员工按照公司规定申请住院病假，并提供了真实有效的病假证明，公司通常不能不批。这是员工的合法权益，也是公司应当履行的义务。如有进一步需要，您可以继续咨询我。