行贿罪的侦办机关主要取决于案件的具体性质和涉案人员。一般来说，行贿罪的侦查由监察机关负责，这是因为在《中华人民共和国监察法》施行后，职务犯罪侦查权转至监察机关，而行贿罪属于职务犯罪范畴。监察机关依法对涉嫌行贿等职务违法和职务犯罪进行调查，有权采取多种调查措施。在调查终结后，若认为犯罪事实清楚、证据确实充分，会移送检察机关审查起诉。

然而，在特定情况下，如涉及普通刑事犯罪（如对非国家工作人员行贿），则由公安机关管辖。公安机关在发现行贿线索后，会展开立案侦查，收集相关证据，查明行贿的事实、情节、涉及金额等情况。之后，案件会移送至人民检察院审查起诉。

综上所述，行贿罪的侦办机关主要是监察机关，但在特定情况下，公安机关也可能具有管辖权。如果您或您身边的人涉及此类问题，建议尽快咨询专业律师，以便更好地了解相关法律规定并维护自身合法权益。