员工在公司打架斗殴，公司是有权开除的，但这一权利并非绝对，而是需要满足一定的条件和程序。以下是对此问题的详细分析：

1. 结论前置：

   • 在大多数情况下，如果员工打架斗殴的行为严重违反了公司依法制订并已公开的规章制度，或触犯了法律法规，公司是有权开除涉事员工的。

2. 法律依据与条件：

   • 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条的规定，劳动者严重违反用人单位的规章制度的，用人单位可以解除劳动合同。同时，《中华人民共和国劳动法》第二十五条也有类似规定。
   • 具体条件：
     • 公司规章制度中必须明确将打架斗殴列为严重违纪行为，并作为开除的依据。这些规章制度需要经过民主程序制定，并已向员工有效公示或组织培训学习。
     • 员工打架斗殴的行为必须达到严重影响公司秩序、生产经营或造成实质性损害的程度。
     • 公司在开除员工前，应进行充分调查，了解事情经过，听取员工陈述和申辩，并告知其违纪行为和开除理由，给予合理的申辩机会。

3. 特殊情况处理：

   • 如果公司规章制度对打架行为的规定不合理，或未按法定程序制定和公示，导致员工不知晓，那么公司以此开除员工可能被认定为违法解除劳动合同。
   • 对于情节非常轻微的打架行为，如未对公司造成实质性影响，也不符合规章制度中的开除情形，公司不得贸然开除员工，否则属于违法解除。

4. 经济补偿问题：

   • 若公司依据合法有效的规章制度和程序开除打架员工，则无需支付经济补偿金。
   • 若公司开除行为被认定为违法，则需按照劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付经济补偿金。

5. 总结与建议：

   • 公司在处理员工打架斗殴事件时，应谨慎行事，确保处理结果的合法性和公正性。要检查公司规章制度是否完善且合法有效，对打架行为进行客观评估，判断是否达到严重程度，并确保开除程序的合法性。
   • 员工在面临此类问题时，也有权通过劳动仲裁等法律途径维护自身权益。如果对公司开除决定有异议，可以及时咨询专业律师，寻求法律帮助。

综上所述，员工在公司打架斗殴是否可以开除，取决于公司的规章制度、法律法规以及事件的具体情况。公司在处理此类事件时，应严格遵守相关法律法规和规章制度，确保程序的合法合规性。