房贷共同债务人断供有可能会被起诉，但银行通常会首先寻求协商解决。

详细分析如下：

1. 银行的处理方式：

   • 在房贷断供后，银行通常会先通过通知短信、电话等方式催促还款，给予一定的宽限期，希望业主能够尽快补上逾期款项。
   • 如果业主仍然无法偿还，银行可能会考虑与业主进行协商，通过降低月供、调整还款方式（如先息后本、随薪还等）来减轻业主的还款压力，从而避免直接起诉。

2. 起诉的可能性：

   • 尽管银行倾向于协商解决，但在某些情况下，如果业主长期不还款且协商无果，银行为了维护自身权益，仍然有可能会选择起诉。
   • 一旦起诉，法院可能会根据具体情况判决业主承担相应的法律责任，包括但不限于偿还欠款、支付违约金等。
   • 如果判决后业主仍不履行，银行有权申请强制执行，甚至可能拍卖房产以收回欠款。

3. 共同债务人的责任：

   • 作为房贷的共同债务人，与主债务人承担相同的还款责任。如果主债务人断供，共同债务人也需承担相应的还款义务。
   • 如果共同债务人也不履行还款义务，银行同样有权对其采取法律措施，包括起诉和强制执行。

综上所述，房贷共同债务人断供后，虽然银行通常会首先寻求协商解决，但并不能完全排除被起诉的可能性。因此，建议共同债务人在面临还款困难时，及时与银行沟通并寻求解决方案，以避免可能的法律纠纷。