在公司餐厅吃出石子，这明显属于食品安全问题，您有权要求餐厅进行赔偿。以下是根据相关法律法规和常见处理流程，为您提供的详细解答：
一、明确赔偿权利
根据《中华人民共和国消费者权益保护法》和《中华人民共和国食品安全法》，您在接受餐饮服务时，若因食品中含有异物（如石子）导致权益受损，有权要求餐厅进行赔偿。
二、赔偿范围与标准
直接损失：
- 医疗费用：若您因吞食石子导致口腔、牙齿或消化道等身体部位受损，餐厅需承担您的医疗费、检查费等。
- 餐费退还：餐厅应退还您问题餐品的费用，或根据具体情况退还整单餐费。
间接损失：
- 误工费：若您因受伤需请假就医，导致误工，可主张合理的误工补偿（需提供相关证明）。
- 精神损害抚慰金：若此事件给您造成心理创伤，如儿童受到惊吓等，可与餐厅协商适当的补偿。
惩罚性赔偿：
- 根据《食品安全法》第一百四十八条，您除要求赔偿损失外，还可以向餐厅要求支付价款十倍或者损失三倍的赔偿金。增加赔偿的金额不足一千元的，为一千元。
三、处理流程
立即响应：
- 餐厅应第一时间向您道歉，并保留相关证据，如问题食物、监控录像等。
- 询问您是否受伤，必要时陪同您就医。
协商解决：
- 餐厅应主动提出退款、赔偿医疗费等合理补偿方案，如赠送代金券、免单等。
- 若您提出的赔偿要求较高，双方可根据法律标准协商确定赔偿金额。
书面协议：
- 双方应签署赔偿协议，明确赔偿金额、支付方式等细节，以避免后续纠纷。
投诉应对：
- 若协商未果，您可能向市场监管部门或消费者协会投诉。餐厅需配合调查，并提供相关证据。
四、注意事项
- 保留证据：请务必保存好相关证据，如消费凭证、菜品照片、就医记录等，以备后续使用。
- 态度诚恳：餐厅在处理此事时应态度诚恳，积极解决问题，以减少负面评价和法律风险。
- 合规经营：餐厅应加强后厨管理，定期检查食材和设备，确保食品安全，避免类似事件再次发生。
综上所述，当您在公司餐厅吃出石子时，应首先与餐厅进行协商解决。若协商无果，您可向相关部门投诉或提起诉讼来维护自己的合法权益。在处理过程中，请务必保留好相关证据，并依据法律法规来主张自己的赔偿权利。