当您的车辆停在路边被风刮断的树枝砸损时，责任的归属和赔偿处理主要依据具体情况而定。以下是我根据您的描述，结合相关法律法规和常见处理流程，为您提供的详细解答：

结论前置

1. 若因自然灾害导致：且车辆停放在合法合规位置，一般由保险公司在车损险范围内赔偿。
2. 若因管理不善造成：林木所有人或管理人需承担侵权责任，车主可向管理单位索赔。

详细分析

1. 确保安全与现场保护

• 首先，确保自己和周围人员的安全，若车辆位置危险，应尽快移至安全地带。
• 全面拍照记录事故现场，包括车辆受损情况、树木状态、位置关系及周边环境等，作为后续理赔和责任认定的证据。

2. 立即报警与通知保险公司

• 拨打122报警电话，向交警部门报告事故，获取事故责任认定书。
• 及时联系车辆投保的保险公司，说明事故情况，并按要求填写理赔申请表格。

3. 明确责任主体并索赔

• 自然灾害导致：

  • 如因狂风等不可抗力导致树木倾倒砸车，且车辆停放在合法位置，通常由保险公司根据车损险进行赔偿。

• 管理不善造成：

  • 若树木因管理养护不当（如老化、病虫害未处理）而倾倒，根据《中华人民共和国民法典》第一千二百五十七条，林木所有人或管理人不能证明自己没有过错的，应承担侵权责任。车主可向管理单位（如市政管理部门、小区物业等）索赔。

• 索赔方式：

  • 向保险公司提供事故证明、维修发票等材料，按保险合同约定获得赔偿。
  • 若确定为管理单位责任，先尝试协商赔偿；协商不成时，可通过法律途径提起诉讼。

4. 特殊情况处理

• 若车辆在市政园林范围内的停车位被砸，联系市政部门协商赔偿事宜。
• 在收费停车场被砸，联系停车场管理部门协商赔偿，通常收费停车场有保险覆盖。
• 在免费停车场或胡同等地被砸，联系绿化部门、街道办事处等查找产权单位，并协商赔偿。
• 小区内车辆被砸，找小区物业或树木负责人协商赔偿，同时了解保险公司赔偿比例。

总结

车辆被路边树枝砸损时，应首先确保安全并保留现场证据，然后立即报警并通知保险公司。根据事故责任认定结果，向相应责任主体索赔。在处理过程中，注意保留所有相关证据和文件，以便在必要时通过法律途径维护自身权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。