判决书不可以申请不写前科，且该申请无效。

在司法实践中，判决书是法院根据案件事实和法律规定，对被告人作出的有罪或无罪判决的正式文书。判决书中会详细记载被告人的犯罪情况、判决结果以及相关的法律依据。对于被告人而言，如果其有前科，即之前曾因犯罪被判刑，这一信息通常会在判决书中得到体现。

前科是被告人犯罪记录的一部分，是法院在量刑时考虑的一个重要因素。因此，判决书作为法院对案件处理的正式文书，必须准确、全面地反映被告人的犯罪情况和判决结果，包括其前科情况。

如果被告人希望避免前科在判决书中的体现，这实际上是不可能的。因为前科是被告人犯罪历史的一部分，是法院在判决时必须考虑的因素之一。而且，判决书的公开性和透明度也是司法公正的重要体现，不允许对判决书中的内容进行随意修改或隐瞒。

因此，判决书不可以申请不写前科，且该申请无效。如果被告人对判决书中的内容有异议，可以通过合法的途径提出上诉或申诉，但必须基于事实和法律规定进行，而不能简单地要求不写前科。