当您遇到律师私自收费且未开具发票的情况时，为了维护自己的合法权益，您可以按照以下步骤进行处理：
一、与律师或律所沟通协商
直接沟通：
- 首先，尝试与承办律师进行友好沟通，明确表达您需要收到正式的发票作为支付服务费用的凭证。
- 了解未开发票的具体原因，是否是由于疏忽或误解导致的，并请求律师尽快为您补开发票。
联系律所：
- 若与律师个人沟通无果，您可以向律师所在的律师事务所反映情况。
- 详细描述律师未开发票的情况，并提供相关证据，如转账记录、聊天记录等。
- 要求律所利用其管理制度和监督机制，督促律师为您开具发票。
二、了解法律规定并保留证据
法律依据：
- 根据《中华人民共和国发票管理办法》及相关法律法规，提供劳务的单位或个人在收取款项时，必须向付款方开具发票。
- 律师提供法律服务并收取费用，属于经营活动范畴，因此开具发票是其法定义务。
保留证据：
- 在整个沟通过程中，务必妥善保留所有与律师费支付及沟通相关的证据。
- 这些证据包括但不限于转账记录、聊天记录、通话录音、委托代理合同等。
三、向监管部门投诉
向律协投诉：
- 若律所未能解决问题，您可向当地律师协会投诉，并提交相关证据。
- 律协会进行调查，并根据调查结果对律师进行相应处理，督促其开具发票。
向司法局投诉：
- 司法行政部门负责对律师和律师事务所的执业活动进行监督管理。
- 您也可以直接向当地司法局的律师管理部门投诉，他们会依法依规进行处理。
向税务部门举报：
- 同时，您还可以考虑联系当地税务部门举报律师未开具发票的行为。
- 准备相关证据材料，如支付凭证、聊天记录等，并详细说明律师未按规定开具发票的具体情况。
- 税务部门将依法进行调查处理，如查证属实，将要求律师或律所补缴税款，并进行相应处罚。
四、寻求专业帮助
- 如果您在处理此问题时遇到困难或不确定如何继续，可以寻求专业的法律援助或咨询其他律师的意见。
- 他们可以提供更具体的建议和指导，帮助您更有效地维护自己的合法权益。
五、考虑后续合作
- 在处理此类问题的过程中，您也需要客观评估该律师或律师事务所的专业能力和诚信水平。
- 如果他们的行为让您感到不满或不信任，可能需要重新考虑选择其他律师或机构来维护您的合法权益。
综上所述，面对律师不开发票的情况，您应坚持自己的权益，并按照上述步骤采取适当行动来解决问题。记住，您有权要求得到正规的服务费用凭证，并且可以通过合法途径来维护自己的合法权益。