关于第三方公司劳务派遣的用工单位与劳动关系，以下是我的详细解答：

结论前置：在劳务派遣关系中，用工单位与劳动者之间不存在直接的劳动关系，而是存在劳务关系。劳动关系存在于劳务派遣单位与劳动者之间。用工单位通过劳务派遣协议与劳务派遣单位建立关系，并间接管理劳动者。

一、劳务派遣的基本法律关系

1. 劳务派遣单位：是《劳动合同法》所称的用人单位，与劳动者签订劳动合同，建立劳动关系，并承担劳动法上的义务。
2. 用工单位：是《劳动合同法》中所指的接受派遣单位，通过与劳务派遣单位签订劳务派遣协议，引进符合要求的员工在其工作岗位上进行工作。
3. 被派遣劳动者：与劳务派遣单位签订劳动合同，被派遣至用工单位工作，与用工单位之间形成劳务关系，而非劳动关系。

二、用工单位与劳动者的关系

1. 劳务关系：虽然被派遣劳动者在用工单位的场所内工作，接受用工单位的管理，但双方并不构成劳动关系。用工单位根据劳务派遣协议的约定，向劳务派遣单位支付费用，包括劳动者的劳动报酬等。
2. 权利义务：
   • 用工单位有权对被派遣劳动者进行工作安排和管理，分配具体工作任务，并监督考核工作质量和效率。
   • 用工单位需提供相应的劳动条件和劳动保护，保障被派遣劳动者在工作过程中的安全与健康。
   • 用工单位应支付加班费、绩效奖金等福利待遇，并根据劳务派遣协议的约定，按时向劳务派遣单位支付相关费用。

三、劳务派遣中的连带责任

根据《劳动合同法》的相关规定，若用工单位给被派遣劳动者造成损害，劳务派遣单位与用工单位需承担连带赔偿责任。这意味着，在某些情况下，如因生产安全事故导致被派遣劳动者受伤，用工单位和派遣单位均需对劳动者的损失承担赔偿责任。

四、实际案例解析

在实际操作中，劳务派遣关系可能因具体情况而有所不同。例如，某公司因业务需要，通过劳务派遣单位招聘了一批员工。这些员工在该公司工作，接受公司的管理，但与公司之间并不构成劳动关系。若这些员工在工作中受伤，除了劳务派遣单位需承担相应责任外，该公司作为用工单位也可能需承担连带赔偿责任。

综上所述，第三方公司劳务派遣的用工单位与劳动者之间不存在直接的劳动关系，而是存在劳务关系。用工单位应严格遵守相关法律法规，切实履行自身义务，确保被派遣劳动者的合法权益得到充分保障。如有任何疑问或需要进一步了解劳务派遣相关事宜，请随时向我咨询。