遇到业主在楼梯丢垃圾的情况，这确实是一个需要关注的问题。首先，我们要明确的是，楼梯是公共区域，保持其清洁与卫生是每位业主的责任。针对这一问题，您可以采取以下几个步骤来解决：

1. 与业主沟通：首先尝试与乱丢垃圾的业主进行沟通，了解他们的行为原因，并友好地提醒他们垃圾应该投放到指定的垃圾桶或垃圾处理区域。

2. 制定和执行规定：如果沟通无果，您可以与物业管理层或业主委员会协商，制定并执行相关的卫生规定，明确禁止在楼梯等公共区域丢弃垃圾，并设立相应的惩罚措施。

3. 增设垃圾处理设施：如果现有的垃圾处理设施不足或不便，可以考虑增设更多的垃圾桶或回收站，方便业主投放垃圾。

4. 加强宣传教育：通过宣传栏、社区活动等方式，加强对业主的环保和卫生意识教育，让他们明白保持公共区域清洁的重要性。

5. 采取法律手段：如果以上措施均无效，且该业主的行为严重影响了其他业主的生活质量和社区环境，您可以考虑通过法律途径来解决问题，比如向相关部门投诉或寻求法律援助。

请注意，处理这类问题时，保持冷静和理性非常重要。尽量通过和平和合理的方式解决问题，避免引发不必要的冲突。