当交通事故发生后，如果肇事方拒绝承担费用，您可以通过以下步骤来维护自己的权益：

一、与肇事方协商沟通

首先，尝试与肇事方进行直接沟通，明确其赔偿责任，并了解其拒绝支付的原因。在沟通过程中，保持理性，尽量争取双方能够达成赔偿协议。如果协商无果，您可以考虑邀请交警部门或人民调解委员会等第三方进行调解，利用他们的权威性和专业性来推动双方和解。

二、收集并整理证据

在协商和调解的过程中，您需要收集并整理好相关证据，包括事故责任认定书、医疗费用票据、病历、诊断证明、误工证明、交通费用凭证等。这些证据是后续维权的基础，也是法院审判时的重要依据。

三、请求公安机关交通管理部门调解

根据《中华人民共和国道路交通安全法》的相关规定，您有权请求公安机关交通管理部门对损害赔偿进行调解。这是一种快速且简便的解决方式，公安机关交通管理部门会依据事实和法律进行公正调解。

四、寻求保险赔偿

如果肇事方投保了交强险或商业险，您可以向保险公司提出索赔要求。交强险是机动车强制投保的险种，可以在责任限额内赔偿受害者的人身伤亡和财产损失。如果肇事方还投保了商业第三者责任险等险种，您同样有权要求保险公司在保险责任范围内进行赔偿。

五、提起民事诉讼

如果协商、调解和保险赔偿均无果，您可以向有管辖权的法院提起民事诉讼。在诉讼过程中，您需要提供充分的证据来支持自己的诉讼请求。法院会依据事实和法律进行审判，并作出公正的判决。

六、申请强制执行

如果法院判决后，肇事方仍然拒绝履行赔偿义务，您可以向法院申请强制执行。法院会采取多项强制措施，如冻结银行账户、查封财产等，来迫使肇事方履行赔偿义务。

七、申请道路交通事故社会救助基金

如果肇事方确实无力支付赔偿款，您可以申请道路交通事故社会救助基金。该基金主要用于垫付受害人72小时内的抢救费用，以及在其他特定情况下提供救助。

八、咨询专业律师

在整个处理过程中，咨询专业律师是非常重要的。律师能够提供专业的法律建议和指导，帮助您更好地维护自身权益。他们还可以协助您收集证据、起草法律文件、代理诉讼等，提高维权的效率和成功率。

综上所述，面对交通事故肇事方拒绝承担费用的情况，您可以通过协商、调解、保险赔偿、民事诉讼、强制执行以及申请道路交通事故社会救助基金等多种方式来维护自己的权益。在处理过程中，请务必保持理性、冷静，并咨询专业律师的意见。