对于事业单位离退休人员嫖娼的处理方式，我们可以从法律层面和党内纪律层面来详细分析。

一、法律层面

根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，对于卖淫、嫖娼的行为，将处以十日以上十五日以下拘留，并可以并处五千元以下罚款。如果情节较轻，将处以五日以下拘留或者五百元以下罚款。这一规定同样适用于事业单位离退休人员，他们在法律上并无特殊优待，一旦触犯法律，将依法受到相应的处罚。

二、党内纪律层面

如果事业单位离退休人员同时还是党员身份，那么他们除了面临法律处罚外，还将受到党内纪律的严肃处理。根据党的纪律规定，对于党员的嫖娼行为，将视情节严重程度给予相应的纪律处分，包括但不限于警告、严重警告、撤销党内职务、留党察看以及开除党籍等。在极端情况下，如行为影响恶劣，甚至可能被开除出党。

三、特殊情况说明

此外，还需要特别注意一种特殊情况，即如果嫖娼过程中与之发生性关系的对象为不满十四周岁的未成年人，那么无论行为人是否知晓对方年龄，都可能构成严重的犯罪行为。在这种情况下，法律将依据具体情况对行为人进行严厉的刑事处罚。

综上所述，事业单位离退休人员嫖娼将依法受到法律的制裁，并可能面临党内纪律的严肃处理。这一行为不仅损害了个人名誉和家庭幸福，也严重破坏了社会风气和公共道德。因此，我们应该坚决抵制和打击这种违法行为，维护社会的和谐稳定与道德风尚。