上班期间路上捡到一部手机，你应当首先尝试联系失主归还，若无法联系到失主，则应当交予附近的派出所或相关机构。以下是对此建议的详细阐述：

1. 尝试联系失主：

   • 捡到手机后，首先应检查手机是否设有解锁密码，若未设密码，可直接查看通讯录或最近通话，尝试联系失主的亲友或最近联系人，告知他们你捡到了手机，并询问如何归还。
   • 若手机设有密码，无法直接查看信息，可尝试等待失主来电或发送寻找手机的消息，此时你应保管好手机，避免其再次遗失或被他人冒领。

2. 交予相关机构：

   • 若长时间无法联系到失主，或者你无法保管手机，应将手机交予附近的派出所或公安机关，由他们进行进一步的处理和寻找失主的工作。
   • 在交予手机时，你可向工作人员说明捡到手机的时间、地点等详细情况，以便他们更好地进行后续工作。

3. 法律义务与道德责任：

   • 从法律角度来看，捡到他人遗失物有义务归还失主，这是基于民法上的不当得利制度。若你拒不归还，失主有权向法院提起诉讼，要求你返还手机并承担相应的法律责任。
   • 从道德层面来讲，归还遗失物是每个人应尽的社会责任，也是体现个人诚信和道德品质的重要行为。

综上所述，捡到手机后应尽快尝试联系失主归还，若无法联系到失主，则应及时交予相关机构处理。这样既能履行你的法律义务，也能体现你的道德责任。