单位可以在网上为员工办理失业登记。人力资源社会保障部已经开通了失业登记全国统一服务平台，旨在提供方便快捷高效的失业登记服务。单位可以登录人力资源社会保障政务服务平台（http://12333.gov.cn）或使用相关的手机应用平台，如“掌上12333”客户端、“电子社保卡”微信小程序以及“国家政务服务平台”微信小程序等，为员工在线办理失业登记。

在办理过程中，需要填写《失业人员登记表》，并确保所填信息的真实性，无需提交其他额外的证明材料。人社部门将通过信息比对等方式对登记信息进行审核，必要时可能会通过工作人员进行进一步的调查核实。

网上办理失业登记的办结时间通常在2个工作日内，相较于现场办理的即时办结可能稍长一些，但仍然提供了极大的便利。此外，办理失业登记是免费的，不需要支付任何费用。

需要注意的是，失业登记不设置有效期，已办理失业登记的无需办理续期手续。然而，如果劳动者被用人单位录用、创办个体工商户、办理就业登记、享受基本养老保险待遇、完全丧失劳动能力或死亡等情形出现，其失业登记将被注销。

总的来说，单位可以在网上为员工办理失业登记，这一服务不仅方便快捷，而且高效透明，有助于劳动者及时获得相关的帮扶和就业服务。