歌厅老板在客人下楼梯跌倒并当场死亡的情况下，是否承担责任以及赔偿金额，取决于多个因素。下面我将从法律角度进行详细分析：
责任判定：
- 安全保障义务：根据《民法典》等相关法律规定，公共场所的管理人或者群众性活动的组织者，负有相应的安全保障义务。歌厅作为公共场所，其老板应当确保场所内的设施安全、环境整洁，并采取必要的措施防止客人受到损害。
- 过错责任：如果歌厅老板未能履行安全保障义务，比如楼梯存在安全隐患（如损坏、湿滑、未设置警示标志等），且这些安全隐患与客人的跌倒死亡有因果关系，那么歌厅老板可能需要承担过错责任。
- 无过错或免责情形：如果歌厅老板已经尽到了合理的安全保障义务，且客人的跌倒是由于其自身原因（如醉酒、突发疾病等）造成的，那么歌厅老板可能不需要承担责任。
赔偿金额：
- 赔偿范围：如果歌厅老板被认定有责任，赔偿金额可能包括死亡赔偿金、丧葬费、精神损害抚慰金等。具体金额需要根据受害人的年龄、收入、家庭情况等因素，以及当地的经济发展水平、消费水平等因素来确定。
- 计算方式：赔偿金额的计算通常涉及多个因素，如受害人的年收入、抚养/赡养人数、当地生活水平等。因此，无法直接给出一个具体的数值。在实际操作中，需要通过专业的法律程序和评估来确定。
建议：
- 证据收集：对于此类纠纷，证据的收集至关重要。建议受害人家属或相关人士及时收集现场照片、视频、证人证言等证据，以便后续维权。
- 法律咨询：由于此类问题涉及复杂的法律关系和专业知识，建议受害人家属或相关人士及时咨询专业律师，以便更好地维护自己的合法权益。
综上所述，歌厅老板在客人下楼梯跌倒并当场死亡的情况下是否承担责任以及赔偿金额，需要根据具体情况进行法律分析和判断。如果你有进一步的法律问题或需要详细的法律建议，请直接向我咨询。