当外卖商家遇到顾客敲诈时，应当冷静应对，并采取一系列有效措施来保护自己的权益。以下是一些建议：

一、保留完整证据

首先，商家应确保保留所有与敲诈事件相关的证据。这些证据可能包括但不限于订单详情、与顾客的聊天记录（如短信、APP内对话等）、通话录音（如有）、异常订单行为记录（如频繁取消、恶意投诉等）、敲诈者发来的短信或邮件、以及任何与敲诈事件有关的物证（如敲诈者留下的纸条、相关交易记录截图等）。这些证据在后续处理中将起到至关重要的作用，有助于商家证明自己的清白并揭露敲诈者的行为。

二、及时与平台沟通

商家在收集到足够证据后，应及时与外卖平台进行沟通。向平台详细说明情况，并提供所保留的证据。请求平台协助处理，例如对敲诈者的账号进行监控、限制或封禁等。平台通常会有相应的处理机制来应对此类恶意行为，并会积极维护商家的合法权益。

三、拒绝不合理要求

面对敲诈者的不合理要求，商家应明确而坚定地表态拒绝。不要因为害怕或担心影响生意而妥协，因为一旦妥协，可能会引来更多类似的敲诈行为。商家应坚守自己的底线，坚决维护自己的合法权益。

四、考虑报警处理

如果敲诈行为涉及金额较大、情节严重或存在暴力威胁等情况，商家应及时向公安机关报案。警方将依法对敲诈者进行调查处理，并根据情节严重程度给予相应的法律制裁。报警不仅可以保护商家的合法权益，还能对敲诈者起到震慑作用。

五、向相关部门反映

如果敲诈行为涉及到行业监管等问题，商家还可以向消费者协会等相关部门反映情况。这些部门通常会提供咨询、调解或支持等帮助，协助商家解决纠纷并维护行业秩序。

六、注意报案时效

虽然报案并没有一个明确规定的固定期限，但为了更好地维护自身权益，商家应尽快报案。随着时间的推移，证据可能会灭失或难以收集，给后续处理带来困难。因此，一旦遭遇敲诈，商家应尽快采取行动并保留相关证据。

综上所述，当外卖商家遇到顾客敲诈时，应保留完整证据、及时与平台沟通、拒绝不合理要求、考虑报警处理、向相关部门反映并注意报案时效。通过这些措施，商家可以有效地应对敲诈行为并保护自己的合法权益。