当公司辞掉员工且员工要求赔偿时，处理方式主要依据辞退的合法性及具体情形来确定。以下是对此问题的全面分析：

1. 合法辞退无需赔偿：

   • 若员工存在严重违反用人单位规章制度、严重失职等《劳动合同法》规定的过错情形，公司辞退员工无需支付经济补偿。

2. 无过错性辞退需支付经济补偿：

   • 在员工患病或非因工负伤，医疗期满后不能从事原工作等无过错性情况下，公司需提前三十日书面通知员工本人或者额外支付一个月工资后解除劳动合同，并按员工在本单位工作年限，每满一年支付一个月工资作为经济补偿。

3. 违法辞退需支付赔偿金：

   • 若公司违反法律规定辞退员工，需按经济补偿标准的二倍支付赔偿金。经济补偿月工资是指员工在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。

4. 应对措施与建议：

   • 判断辞退性质：员工首先应判断辞退是否合法，若为合法辞退，应配合公司办理离职手续。
   • 协商与证据收集：若认为是违法辞退，可先与公司协商解决。协商无果时，应及时收集劳动合同、工资条、辞退通知等证据。
   • 法律途径维权：凭借证据向劳动监察部门投诉，或申请劳动仲裁来维护自身权益。若对仲裁结果不服，还可在规定时间内向人民法院提起诉讼。

综上所述，公司辞掉员工后员工要求赔偿的处理方式需根据辞退的合法性及具体情形来确定。员工应了解自身权益，通过合法途径维护自身利益。若您在此类问题上有进一步疑问或需要详细咨询，请直接向我提问，我会为您提供专业的法律解答。